Règle du quotient de d'Alembert - Critère de d'Alembert
Séries numériques
Théorème
Cas convergent
Règle du quotient de d'Alembert, critère de d'Alembert :
Soit \(\sum u_k\) une série dont les termes généraux sont des nombres complexes non nuls
Si il un entier \(k_0\) tq $$\forall k\geqslant k_0,\quad\left|\frac{u_{k+1} }{u_k}\right|\lt 1$$, alors \(\sum u_k\) est absolument convergente
(Valeur absolue, Série absolument convergente)
Cas divergent
Règle du quotient de d'Alembert, critère de d'Alembert :
Soit \(\sum u_k\) une série dont les termes généraux sont des nombres complexes non nuls
Si il existe un entier \(k_0\) tq $$\forall k\geqslant k_0,\quad\left|\frac{u_{k+1} }{u_k}\right|\gt 1$$, alors \(\sum u_k\) diverge
(Valeur absolue, Suite divergente)
Equivalence avec la règle des racines de Cauchy
Proposition : $$\lim_{k\to+\infty}{{\frac{u_{k+1} }{u_k} }}=\ell\implies{{\lim_{k\to+\infty}\sqrt[k]{u_k} }}={{\ell}}$$
Proposition :
Si on peut appliquer la règle du quotient de d'Alembert, alors on peut appliquer la règle des racines de Cauchy
(Règle des racines de Cauchy)
Séries entières
Proposition (critère de d'Alembert) :
On suppose que \(a_n\ne0\) (\(\forall n\)) et \(\ell=\lim_n\frac{a_{n+1} }{a_n}\) existe
On a alors $$R={{\frac1\ell}}$$